مقدمه ای بر سینماتیک معکوس
در این نوشته و چند پست بعدی، ما در مورد سینماتیک معکوس و به طور خاص، روش معکوس ژاکوبین صحبت خواهیم کرد. اگرچه برای درک کامل این روش، درک دقیق حسابان چند متغیره ضروری است، اما برای خواندن این پست ها نیازی به دانستن حساب دیفرانسیل نیستید! من به برخی از تئوری ها اشاره می کنم، اما تا زمانی که شما درک اولیه ای از آنچه که مشتق نشان می دهد دارید، باید مطلب برایتان جاافتاده و مسلط بر آن باشید. با این اوصاف، شما باید دانش کافی بر روی بردارها، ماتریس ها و ضرب ماتریس و محصولات متقاطع داشته باشید. همچنین باید درک کنید که ماتریس های تبدیل اقلیدسی چگونه کار می کنند،.
در این پست راه اندازی و معادلات اصلی سینماتیک سیستم را پوشش می دهیم. پست بعدی در مورد روش معکوس ژاکوبین، یعنی ماتریس ژاکوبین و معکوس آن بحث خواهد کرد.
سینماتیک معکوس چیست؟
به طور کلی، سینماتیک معکوس تکنیکی است که به ما امکان میدهد تعیین کنیم چگونه چیزی را از یک موقعیت به موقعیت دیگر منتقل کنیم. وقتی میخواهید یک لیوان آب روی میز بگیرید، مغز شما اساساً شکل پیچیدهای از سینماتیک معکوس را انجام میدهد تا بفهمد چگونه مفصل شانه، مفصل آرنج و مچ دست خود را بچرخانید تا دست خود را به سمت لیوان حرکت دهید. در رباتیک، سینماتیک معکوس اغلب برای کنترل بازوهای ربات استفاده می شود.
«معکوس» در «سینماتیک معکوس» به این ایده اشاره دارد که مخالف «سینماتیک رو به جلو» است.
شکل 1 ) سینماتیک معکوس و سینماتیک مستقیم در رباتیک
فرض کنید ما یک بازوی ربات دو بعدی داریم که از چندین مفصل چرخشی تشکیل شده است (دایره های سبز جامد در تصویر بالا) که به یک افکتور انتهایی منتهی می شود (دایره خالی در تصویر بالا). عامل پایانی ممکن است یک گیره یا نوعی دستکاری کننده رباتیک دیگر باشد. هر مفصل با یک زاویه مشترک تعریف می شود که با نشان داده می شود و اندافکتور در مکانی در فضای فیزیکی قرار دارد که با بردار موقعیت re نشان داده می شود. . سینماتیک رو به جلو می پرسد: “اگر زوایای مفصل را بدانیم، مختصات re چیست؟ از سوی دیگر، سینماتیک معکوس میپرسد: «اگر ما یک موقعیت مؤثر انتهایی مطلوب داریم که عبارت است از re آنگاه ، زوایای مشترک مورد نیاز برای رسیدن به آن موقعیت چیست؟
بر خلاف سینماتیک رو به جلو، پاسخ به سوال سینماتیک معکوس به دلیل این واقعیت پیچیده است که همیشه یک راه حل واحد ندارد.
شکل 2 ) امکان ارائه پاسخ های متعدد در سینماتیک معکوس
معمولاً چندین جهت یا “موقعیت” وجود دارد که به سیستم اجازه میدهد به همان موقعیت اند افکتور هدف برسد. برای بررسی بیشتر این موضوع، ابتدا باید تصمیم بگیریم که چگونه بازوی ربات خود را به صورت ریاضی توصیف کنیم.
تعریف سیستم مختصات
ما با چندین بخش دوار سروکار خواهیم داشت، بنابراین منطقی است که یک سیستم مختصات برای هر مفصل/بخش تعریف کنیم.
شکل 3 ) نحوه تخصیص مقادیر برای حل سینماتیک معکوس
هر مفصل به عنوان مبدأ برای سیستم مختصات خود عمل می کند، به عنوان مثال، X1Y1 به عنوان سیستم مختصات برای اولین مفصل، جایی که محور X1 با لینک اول منطبق است که طول آن L1 است. زاویه اولین مفصل ، یعنی مقداری که اولین مفصل نسبت به سیستم مختصات جهانی می چرخد، با نشان داده می شود. به طور مشابه، مفصل دوم مبدأ سیستم مختصات دوم، X2Y2 است ، که با زاویه نسبت به مختصلت اول می چرخد
رفتن از یک سیستم مختصات به سیستم دیگر را می توان با ماتریس های تبدیل به دست آورد. هر مفصل ماتریس تبدیل خود را خواهد داشت. ماتریس های تبدیل به ما این امکان را می دهند که مختصات اندافکتور را بر حسب سیستم مختصات جهانی بدست آوریم که آن را X0Y0 می نامیم.
با وجود اینکه بازوی ربات ما در صفحه XY قرار دارد، ما از بردارهای سه بعدی و ماتریس های تبدیل 4×4 استفاده خواهیم کرد، نه تنها به این دلیل که با محصولات متقاطع سروکار داریم، بلکه به ما کمک می کند فرمول بندی کلی تری ایجاد کنیم. در واقع در معادلات سینماتیک معکوس باید از نماد XiYiZi استفاده کنیم . برای اشاره به هر سیستم مختصات، از آنجایی که تصمیم گرفته ایم بردارهای موقعیت و ماتریس های تبدیل را به صورت سه بعدی بیان کنیم، اما ما در اینجا بصورت XiYi نشان میدهیم.
برای مثال با سه درجه آزادی در این پست، با سه مفصل چرخشی آن، سه ماتریس تبدیل داریم:
که در آن ماتریس تبدیل اول سیستم را از X0Y0 به X1Y1 تبدیل می کند و ماتریس دوم آن را از X1Y1 به X2Y2 تبدیل می کند و سپس ماتریس سوم آن را به X3Y3 تبدیل می کند. در نهایت مختصات اندافکتور در سیستم مختصات X3Y3 عبارت است از .
مختصات افکتور انتهایی را می توان از X3Y3 به سیستم جهانی X0Y0 تبدیل کرد سیستم با ضرب ماتریس های تبدیل با مختصات موثر پایانی به ترتیب صحیح:
هدف
شکل 4) هدف در سینماتیک معکوس
هدف ما این است که تعیین کنیم چگونه می توان اند افکتور را از موقعیت فعلی خود، به سمت هدف حرکت داد. (نقطه قرمز در شکل بالا). ما تفاوت بین اینها را می نامیم، یعنی . به طور خاص، ما میخواهیم تعیین کنیم که زوایای مفصل چگونه باید تغییر کند تا موقعیت اند افکتور با حرکت کند. ما این تغییر در زوایای مفصل را می نامیم. (که بردار حاوی تمام زوایای مفصل است). این تغییر در زوایای مفصل مربوط به تغییر موقعیت موثر انتهایی توسط ماتریس (ژاکوبین)Jacobian است که در پست بعدی به آن خواهیم پرداخت.
منبع : برق تِک