انحراف خروجی سیستم کنترل از پاسخ مطلوب در حالت پایدار به عنوان خطای حالت پایدار شناخته می شود. به صورت ess نشان داده می شود. ما می توانیم خطای حالت پایدار را با استفاده از قضیه ارزش نهایی به صورت زیر پیدا کنیم.

فرمول 1 تعریف خطای حالت ماندگار خطای حالت ماندگار در سیستم های کنترل

جایی که،

E(s) تبدیل لاپلاس سیگنال خطا e(t) است،

اجازه دهید در مورد چگونگی یافتن خطاهای حالت پایدار برای سیستم‌های کنترل بازخورد واحد و بازخورد غیر واحد یکی یکی بحث کنیم.

خطاهای حالت ثابت برای سیستم های بازخورد یونیتی

بلوک دیاگرام زیر سیستم کنترل حلقه بسته را در نظر بگیرید که دارای بازخورد منفی واحد است.

شکل 1 خطای حالت ماندگار در سیستم های با فیدبک واحد 300x113 خطای حالت ماندگار در سیستم های کنترل

شکل 1 ) خطای حالت ماندگار در سیستم های با فیدبک واحد

جایی که،

R(s) تبدیل لاپلاس سیگنال ورودی مرجع r(t) است.

C(s) تبدیل لاپلاس سیگنال خروجی c(t) است.

ما تابع انتقال سیستم کنترل حلقه بسته بازخورد منفی یگانه را به عنوان مثال می دانیم که به صورت زیر است :

فرمول 2 تابع تبدیل در سیستم با فیدبک واحد خطای حالت ماندگار در سیستم های کنترل

خروجی نقطه جمع عبارت است از :

فرمول 3 خروجی نقطه جمع 1 خطای حالت ماندگار در سیستم های کنترل

با جایگذاری مقدار C(s) خواهیم داشت :

فرمول 4 تعریف خطا خطای حالت ماندگار در سیستم های کنترل

مقدار E(s) را در فرمول خطای حالت پایدار جایگزین کنید در نتیجه :

فرمول 5 خطای حالت ماندگار به صورت حد در بی نهایت خطای حالت ماندگار در سیستم های کنترل

جدول زیر خطاهای حالت پایدار و ثابت های خطا را برای سیگنال های ورودی استاندارد مانند گام واحد، رمپ واحد و سیگنال های سهموی واحد نشان می دهد.

جدول 1) خطای حالت ماندگار و ثابت خطا به ازای ورودی های مختلف

جدول 1 خطای حالت ماندگار و ثابت خطا به ازای ورودی های مختلف 300x126 خطای حالت ماندگار در سیستم های کنترل

که در آن، Kp، Kv و Ka به ترتیب ثابت خطای موقعیت، ثابت خطای سرعت و ثابت خطای شتاب هستند.

نکته – اگر هر یک از سیگنال های ورودی بالا دامنه ای غیر از واحد داشته باشد، خطای حالت پایدار مربوطه را با آن دامنه ضرب کنید.

نکته – ما نمی توانیم خطای حالت پایدار را برای سیگنال واحد تکانه تعریف کنیم زیرا فقط در مبدا وجود دارد. بنابراین، ما نمی توانیم پاسخ ضربه را با ورودی تکانه واحد مقایسه کنیم، زیرا t نشان دهنده بی نهایت است.

مثال

اجازه دهید خطای حالت پایدار برای یک سیگنال ورودی را پیدا کنیم ، سیستم زیر را در نظر بگیرید :

فرمول 6 ورودی سیستم خطای حالت ماندگار در سیستم های کنترل

که دارای یک سیستم کنترل بازخورد منفی با تابع تبدیل زیر می باشد :

فرمول 7 سیستم کنترل ورودی  خطای حالت ماندگار در سیستم های کنترل

سیگنال ورودی داده شده ترکیبی از سه سیگنال پله، رمپ و سهمی است. جدول زیر ثابت های خطا و مقادیر خطای حالت پایدار را برای این سه سیگنال نشان می دهد.

جدول 2 ) مقادیر خطای حالت ماندگار برای ورودی های مختلف

جدول 2 مقادیر خطای حالت ماندگار برای ورودی های مختلف 300x120 خطای حالت ماندگار در سیستم های کنترل

با اضافه کردن سه خطای حالت پایدار بالا، خطای کلی حالت پایدار را دریافت خواهیم کرد.

فرمول 8 خطای حالت ماندگار در سیستم های کنترل

خطاهای حالت ثابت برای سیستم های بازخورد غیر واحد

بلوک دیاگرام زیر سیستم کنترل حلقه بسته را در نظر بگیرید که دارای بازخورد منفی غیر واحدی است.

شکل 2 خطای حالت ماندگار برای سیستم بدون فیدبک یگانه 300x124 خطای حالت ماندگار در سیستم های کنترل

شکل 2 ) خطای حالت ماندگار برای سیستم بدون فیدبک یگانه

ما می توانیم خطاهای حالت پایدار را فقط برای سیستم های بازخورد یگانه پیدا کنیم. بنابراین، ما باید سیستم بازخورد غیر واحد را به سیستم بازخورد یگانه تبدیل کنیم. برای این کار، یک مسیر بازخورد مثبت واحد و یک مسیر بازخورد منفی واحد را در بلوک دیاگرام بالا بگنجانید. بلوک دیاگرام جدید مانند شکل زیر است.

شکل 3 خطای حالت ماندگار برای سیستم با چند مسیر فیدبک 300x163 خطای حالت ماندگار در سیستم های کنترل

شکل 3 ) خطای حالت ماندگار برای سیستم با چند مسیر فیدبک

بلوک دیاگرام بالا را با حفظ بازخورد منفی یگانه به همان شکلی که هست ساده کنید. شکل زیر بلوک دیاگرام ساده شده است.

شکل 4 ساده شده بلوک دیاگرام 300x105 خطای حالت ماندگار در سیستم های کنترل

شکل 4 ) ساده شده بلوک دیاگرام

این بلوک دیاگرام شبیه بلوک دیاگرام سیستم کنترل حلقه بسته بازخورد منفی یگانه است. در اینجا، تک بلوک دارای عملکرد انتقال است

اکنون می توانید خطاهای حالت پایدار را با استفاده از فرمول خطای حالت ماندگاری که برای سیستم های بازخورد منفی یگانه داده شده است محاسبه کنید.

سیستم های ناپایدار

یافتن خطاهای حالت پایدار برای سیستم های حلقه بسته ناپایدار بی معنی است. بنابراین، ما باید خطاهای حالت پایدار را فقط برای سیستم های پایدار حلقه بسته محاسبه کنیم. این بدان معناست که قبل از یافتن خطاهای حالت پایدار باید بررسی کنیم که آیا سیستم کنترل پایدار است یا خیر.

سیستم های غیرخطی

خطای حالت ماندگار قابل تعمیم به مدل های غیرخطی نیز می باشد . اساسا یکی از معیارهای مهم در کنترل سیستم ها خطای حالت ماندگار می باشد که هر اندازه کمتر باشد نشان دهنده عملکرد مطلوب سیستم کنترل می باشد.

تفاوت مهمی که در تحلیل خطای حالت ماندگار برای سیستم های غیرخطی و خطی می باشد ، عدم وجود فرمولاسیون مشخص برای محاسبه خطا در سیستم های غیرخطی برعکس سیستم های خطی می باشد. در این شرایط نیاز است که این شاخص توسط خطای ورودی مرجع و فیدبک خروجی سیستم در هر لحظه محاسبه شود.

در اغلب سیستم هایی که با آن ها سر و کار داریم ، این خطا به عنوان یک متغیر مهم کنترلی در نظر گرفته می شود و علاوه بر آن مشتق این خطا نیز می تواند به عنوان یک متغیر دیگر در طراحی سیستم کنترل مد نظر باشد.

در سیستم های کنترل مد لغزشی این دو متغیر در محاسبه آرگومان مدلغزشی (صفحه لغزش) به صورت مستقیم استفاده می شوند و از طرفی در سیستم های غیرخطی این دو متغیر اغلب جزء متغیرهای حالت سیستم تعریف می شوند که صفر شدن این دو خطا به معنی میل کردن حداقل دو متغیر حالت از سیستم به نقطه کار مطلوب (خطای صفر) می باشد.

شکل 5 خطای حالت ماندگار در سیستم های غیرخطی 262x300 خطای حالت ماندگار در سیستم های کنترل

شکل 5 ) خطای حالت ماندگار در سیستم های غیرخطی

کنترل بهینه

خطای حالت ماندگار به دلیل اهمیت فوق العاده ای که در بحث کنترل دارد توانسته در جایگاه های متعددی به عنوان بحث اصلی مطرح شود. یکی از این زمینه ها ، کنترل بهینه می باشد. در بحث کنترل بهینه متغیرهای حالت سیستم به عنوان محدودیت های خطی یا غیرخطی (بسته به مدل دینامیکی خطی یا غیرخطی) تعریف می شوند و به دنبال آن یک تابع هزینه برای کنترل بهینه سیستم تعریف می شود.

در اغلب فرآیندهای کنترل بهینه بخشی از تابع هزینه به خطای حالت ماندگار اختصاص می یابد به این شکل که فرم های مختلفی از این خطا در تابع هزینه سیستم کنترل آورده می شود. مهمترین فرم بیان شده در در خصوص خطای حالت ماندگار به صورت مربع خطای مورد نظر می باشد به این ترتیب با افزایش ضریب تابع هزینه مربوط به خطای حالت ماندگار ، سیستم کنترل درصدد اعمال نیروی کنترلی در مسیر کاهش بیشتر این خطا خواهد بود.

منبع : برق تِک

About برق تِک

Leave a Reply

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *