مقدمه ای بر دینامیک خودرو

ماشین وسیله نقلیه ای است که شاسی آن به چهار چرخ (معمولا) متصل است. این چهار چرخ به نوبه خود با جاده در تماس هستند. شاسی مستقیماً به چرخ‌ها متصل نیست، بلکه توسط سیستم تعلیق به آنها متصل می‌شود که عموماً از فنرهای مارپیچ و کمک فنرها (دمپر) تشکیل شده است. به عبارت دیگر، رابط بین شاسی و هر چرخ یک فنر و دمپر است. در دنیای خودرو، شاسی را جرم فنر می نامند، زیرا بخشی از وسیله نقلیه است که توسط فنرها نگه داشته می شود. در مقابل، هر چرخ به عنوان یک توده فنر نشده نامیده می شود. البته، اصطلاح “جرم فنر نشده” همیشه کمی گمراه کننده است، زیرا می توانیم تایر را به عنوان فنر و دمپر نیز مدل کنیم. یک تایر لاستیکی باد شده در اصل فنر بسیار سفت است.
اگر یک گوشه ماشین یعنی یک لاستیک و یک چهارم شاسی را بگیریم به این شکل می شود:

شکل 1 مدل یک چهارم خودرو 300x300 مطالعه ای بر دینامیک سیستم تعلیق خودرو با در نظر گرفتن مدل نصف خودرو

شکل 1 ) مدل یک چهارم خودرو به صورت فنر و دمپر

به این مدل سیستم تعلیق یک چهارم خودرو می گویند. این یک سیستم تک بعدی است که شامل یک جرم فنردار (یک چهارم شاسی) و یک جرم فنر نشده (چرخ) است. اینها یک سیستم 2-DOF را تشکیل می دهند که با یک جفت معادله دیفرانسیل مشخص می شود که با جمع نیروها در جهت عمودی برای شاسی و جمع نیروها در جهت عمودی برای چرخ به دست می آید. به طور مشابه، یک مدل تعلیق نیمه خودرو، نیمی از خودرو را در نظر می گیرد. گاهی اوقات، یک مدل نیمه خودرو، نیمه جلو یا نیمه عقب خودرو (و دینامیک رول مربوط به آن‌ها) را در نظر می‌گیرد، اما معمولاً «مدل نیمه خودرو» به نیمه‌های چپ/راست و دینامیک گام و جهش آن‌ها اشاره دارد:

شکل 2 مدل یک دوم خودرو 300x175 مطالعه ای بر دینامیک سیستم تعلیق خودرو با در نظر گرفتن مدل نصف خودرو
شکل 2 ) مدل یک دوم خودرو به صورت فنر و دمپر

این یک سیستم 4-DOF است که توسط جابجایی عمودی چرخ جلو، جابجایی عمودی چرخ عقب، جابجایی عمودی شاسی (یعنی “جهش”) و زاویه چرخش شاسی (یعنی، “زمین”). برای توصیف آن به چهار معادله نیاز داریم. قبل از پرداختن به آن، بیایید ظاهر ماشین خود را تغییر دهیم تا بیشتر شبیه یک ماشین واقعی به نظر برسد. البته این ضروری نیست، اما ممکن است تجسم مشکل را آسان‌تر کند و مهمتر از آن، باحال تر به نظر برسد. بدون هیچ دلیل خاصی، بیایید یک هوندا آکورد کوپه 2010 را انتخاب کنیم:

شکل 3 بررسی دینامیک بر روی چهارچوب یک خودروی واقعی 300x209 مطالعه ای بر دینامیک سیستم تعلیق خودرو با در نظر گرفتن مدل نصف خودرو
شکل 3 ) بررسی متغیرهای مدل خودرو بر روی یک خودروی واقعی

شکل بالا چندین مختصات و متغیر را تعریف می کند. z_c را جابجایی عمودی مرکز جرم شاسی (COM) از موقعیت اولیه آن است، ∅ زاویه گام شاسی است، z_f را جابجایی عمودی COM چرخ جلو از موقعیت اولیه و z_r جابجایی عمودی COM چرخ عقب از موقعیت اولیه آن است. g(x) تابع وارد کننده نیرو است، یعنی جاده، و نشان دهنده جابجایی عمودی جاده در هر مختصات افقی معین x در طول جاده است. g_f و g_r مقدار این تابع را به ترتیب در نقاط تماس چرخ جلو و عقب است. m_c ، m_f و m_r به ترتیب جرم شاسی،جرم چرخ جلو و جرم چرخ عقب است و I_yy گشتاور جرمی اینرسی شاسی در مورد محور گام (محور y) است.

نیروها و معادلات حرکت

ابتدا، بیایید به نیروهایی که بر روی سیستم عمل می کنند به عنوان یک کل نگاه کنیم:

شکل 4 بررسی نیروها و معادلات دینامیکی با ارزیابی شماتیک نصف خودرو 300x243 مطالعه ای بر دینامیک سیستم تعلیق خودرو با در نظر گرفتن مدل نصف خودرو
شکل 4 ) نیروها و معادلات وارد شده بر خودرو

l_f فاصله از COM شاسی و نقطه اتصال سیستم تعلیق جلو به شاسی است. اینجاست که نیروهای ناشی از فنر و دمپر سیستم تعلیق جلو روی شاسی وارد می شود. به طور مشابه، l_r فاصله تا نقطه اتصال تعلیق عقب است. F_d نیروی محرکی است که مسئول شتاب دادن به خودرو است. توجه داشته باشید که تنها یک نیروی محرک وجود دارد و آن در چرخ جلو عمل می کند، زیرا این یک خودروی دیفرانسیل جلو است. برای ساده نگه داشتن کارها (و چون اثر به صورت پویا یکسان است)، نیروی محرکه منفی را به عنوان نیروی ترمز در نظر می گیریم، حتی اگر خودرو دارای هر دو ترمز جلو و عقب باشد. نیروی محرک (یا ترمز) به شتاب خودرو با F_d=ma مربوط می شود که در آن m مجموع جرم ماشین است (m=m_c+m_f+m_r) و a شتاب افقی خودرو است. توجه داشته باشید که COM کلی سیستم دقیقاً در همان مکان COM شاسی قرار نخواهد گرفت، زیرا COM هر چرخ را نیز به حساب می آورد، اما از آنجایی که جرم شاسی به طور قابل توجهی بزرگتر از جرم چرخ ها است، این کار را انجام خواهد داد. نسبتا نزدیک باشد برای سادگی، با این فرض پیش می‌رویم که COM شاسی و COM سیستم یکسان هستند. شکل بالا و معادلات آن به ما نشان می دهد که نیروی نرمال وارد بر هر چرخ از یک جزء استاتیک و یک جزء دینامیکی تشکیل شده است. برای چرخ جلو، جزء ثابت l_r/l mg است و مولفه پویا -h/l ma است . برای چرخ عقب، جزء ثابت l_f/l mgاست و مؤلفه پویا h/l maاست. ما در اینجا، فاصله بین دو محور l به صورت l=l_f+l_r تعریف می شود و g به جاذبه اشاره دارد،. این بدان معنی است که نیروهای عادی وارد بر چرخ ها به طور متناسب با شتاب تغییر می کنند. به همین دلیل است که وقتی ماشین شتاب می‌گیرد، پشت ماشین پایین می‌آید (“اسکوات”) و وقتی ترمز می‌کند جلوی ماشین پایین می‌آید (“شیرجه”).
این نکته مهم دیگری را نیز مطرح می کند: مولفه استاتیکی نیروی عادی فقط به جرم خودرو و موقعیت چرخ ها نسبت به COM کلی بستگی دارد. بدون توجه به شتاب تغییر نمی کند. به یاد بیاورید که چگونه در چندین پاراگراف بالا، همه مختصات به عنوان جابجایی از موقعیت اولیه تعریف شدند. برای راحتی، می توانیم موقعیت اولیه را زمانی تعریف کنیم که ماشین روی زمین صاف در حالت استراحت است. سپس، مطالعه دینامیک این سیستم چند بدنه فقط به بررسی این موضوع می‌پردازد که وقتی اجزای خودرو یا نیروهای وارد بر خودرو تغییر می‌کنند چه اتفاقی می‌افتد. به عبارت دیگر، می‌توان فرض کرد که تمام نیروهای ساکن با موقعیت اولیه در نظر گرفته می‌شوند. به عنوان مثال، می توانیم وزن m_c*g را نادیده بگیریم زیرا فنرهای سیستم تعلیق به اندازه کافی فشرده شده اند (از پیش بارگذاری شده) تا آن را در موقعیت اولیه جبران کنند. به همین ترتیب، می‌توانیم بخش‌های استاتیک نیروهای عادی را نادیده بگیریم و فقط بخش‌های دینامیکی (در حال تغییر) را در نظر بگیریم، که من آن را ∆N_f و ∆N_r می‌نامم. با در نظر گرفتن این موضوع، اکنون می‌توانیم با بررسی هر بدنه صلب و نوشتن معادله(های) حرکت آن، از شاسی شروع کنیم:

شکل 5 معادلات دیفرانسیل نیم خودرو 300x146 مطالعه ای بر دینامیک سیستم تعلیق خودرو با در نظر گرفتن مدل نصف خودرو
شکل 5 ) معادلات دیفرانسیل نیم خودرو

k_fs و k_rs به ترتیب عبارت از نرخ فنر سیستم تعلیق جلو و عقب می باشند. c_fs و c_rs ثابت میرایی سیستم تعلیق جلو و عقب هستند. دو معادله حرکت برای شاسی وجود دارد، یکی برای انتقال عمودی آن (جهش) و دیگری برای چرخش آن (پیچ). اگرچه زاویه گام در شکل بالا برای تأثیر اغراق‌آمیز است، اما فرض بر این است که شاسی در محدوده نسبتاً کمی از زوایای شیب دار خواهد بود. بنابراین، ما از تقریب زاویه کوچک sinθ ≈ θ در معادله گشتاور استفاده می‌کنیم. مشاهده کنید که ما از موقعیت و سرعت هر مختصات استفاده می کنیم – موقعیت برای نیروهای فنر و سرعت برای نیروهای دمپر. همچنین توجه داشته باشید که فرض می کنیم سیستم تعلیق بدون توجه به زاویه شیب شاسی، عمودی باقی می ماند. این با تقریب زاویه کوچک همراه است. برای جابجایی های زاویه ای کوچک، این مفروضات تقریبی معتبر هستند.
سپس معادلات حرکت را برای جابجایی عمودی هر چرخ می نویسیم:

شکل 6 معادلات دیفرانسیل عمودی برای جابجایی هر چرخ 300x169 مطالعه ای بر دینامیک سیستم تعلیق خودرو با در نظر گرفتن مدل نصف خودرو
شکل 6 ) معادلات دیفرانسیل برای جایجایی در جهت عمودی برای هر چرخ

k_ft و k_rt به ترتیب نرخ فنر لاستیک های جلو و عقب می باشند. به طور مشابه، c_ft و c_rt ثابت میرایی لاستیک های جلو و عقب هستند. توجه داشته باشید که نیروهای سیستم تعلیق وارد بر چرخ ها برابر و مخالف نیروهای سیستم تعلیق وارد بر شاسی است.

نوشتن هر چهار معادله با هم و حل شتاب ها با تقسیم جرم و گشتاور جرمی اینرسی:

شکل 7 معادلات دیفرانسیل نهایی نیم خودرو 300x100 مطالعه ای بر دینامیک سیستم تعلیق خودرو با در نظر گرفتن مدل نصف خودرو
شکل 7 ) معادلات دیفرانسیل نهایی نیم خودرو

در نهایت می توانیم این سیستم معادلات را به صورت ماتریسی بازنویسی کنیم.

شکل 8 معادلات دیفرانسیل نهایی نیم خودرو به شکل ماتریسی 296x300 مطالعه ای بر دینامیک سیستم تعلیق خودرو با در نظر گرفتن مدل نصف خودرو
شکل 8 ) معادلات دیفرانسیل سیستم تعلیق نیم خودرو به شکل ماتریسی

اگر به کار با ماتریس ها عادت ندارید، ممکن است در ابتدا ترسناک به نظر برسد، اما تنها کاری که انجام می دهد این است که چهار معادله حرکت ما را به چندین قطعه متمایز سازماندهی می کند q ̈ یک بردار 4×1 حاوی شتاب مختصات {z_c,∅,z_f,z_r } است. که من آن را به عنوان بردار q نشان داده‌ام. [K] ماتریس سختی است که ثابت های فنر را یکپارچه می کند و [C] ماتریس میرایی است که ثابت های میرایی را یکپارچه می کند. g و g ̇ بردارهایی هستند که به ترتیب شامل جابجایی و سرعت جاده در نقاط تماس جلو و عقب با چرخ ها هستند. برای همراهی با اینها K_g و C_g که مشخصات جاده (و سرعت تغییر آن) را به نیروهای وارد شده بر چرخ ها مرتبط می کند. در نهایت، بردار n یک بردار نیروی نرمال است که شامل بخش‌های دینامیکی نیروی نرمال در چرخ‌های جلو و عقب است. تقسیم همه اینها به ماتریس ها و بردارها حل عددی دینامیک سیستم را نسبتاً آسان می کند، زیرا ماتریس ها حاوی ویژگی های سیستم هستند که تغییر نمی کنند، در حالی که بردارها را می توان در هر تکرار به روز کرد.

 

منبع : برنامه ریزی مهندسی و تکنیکال

About برق تِک

Leave a Reply

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *