نمودار Bode یا دیاگرام Bode از دو نمودار تشکیل شده است

نمودار بزرگی

نمودار فاز

در هر دو نمودار، محور x نشان دهنده فرکانس زاویه ای (مقیاس لگاریتمی) است. در حالی که، محور y نشان دهنده بزرگی (مقیاس خطی) تابع انتقال حلقه باز در نمودار بزرگی و زاویه فاز (مقیاس خطی) تابع انتقال حلقه باز در نمودار فاز است.

مقدار تابع انتقال حلقه باز در دسی بل برابر است با :

زاویه فاز تابع انتقال حلقه باز بر حسب درجه عبارت است با :

نکته – پایه لگاریتم 10 است.

مبانی نمودار بودی

جدول زیر مقادیر شیب، بزرگی و زاویه فاز عبارت های موجود در تابع انتقال حلقه باز را نشان می دهد. این داده هنگام ترسیم نمودارهای Bode مفید است.

جدول 1 ) مقدار معادل برای اندازه و فاز در نمودار بودی برای برخی عبارات

تابع انتقال حلقه باز G(s)H(s)=K را در نظر بگیرید.

اندازه عبارت است با : دسی بل M=20logK

زاویه فاز عبارت است با : درجه ϕ=0

حال اگر K=1 باشد، اندازه 0 دسی بل است.

اگر K>1 باشد، اندازه مثبت خواهد بود.

اگر K<1 باشد، اندازه منفی خواهد بود.

شکل زیر نمودار Bode مربوطه را نشان می دهد.

شکل 1 ) نمودار بودی متناسب با مثال 1

نمودار بزرگی یک خط افقی است که مستقل از فرکانس است. خط 0 دسی بل خود نمودار بزرگی است زمانی که مقدار K یک است. برای مقادیر مثبت K، خط افقی 20logK دسی بل به بالای خط 0 دسی بل منتقل می شود. برای مقادیر منفی K، خط افقی 20logK دسی بل به زیر خط 0 دسی بل منتقل می شود. خط صفر درجه خود نمودار فاز برای تمام مقادیر مثبت K است.

حال تابع انتقال حلقه باز G(s)H(s)=s را در نظر بگیرید.

اندازه M=20logω dB

زاویه فاز ϕ=90

در ω=0.1 راد بر ثانیه، اندازه -20 دسی بل است.

در ω=1 راد بر ثانیه، اندازه 0 دسی بل است.

در ω=10 راد بر ثانیه، اندازه 20 دسی بل است.

شکل زیر نمودار Bode مربوطه را نشان می دهد.

شکل 2 ) نمودار بودی متناسب با مثال 2

نمودار اندازه یک خط است که دارای شیب 20 دسی بل در دسی است. این خط با اندازه 20- دسی بل از ω=0.1 راد بر ثانیه شروع شده و در همان شیب ادامه می یابد. خط 0 دسی بل را با ω=1 راد در ثانیه لمس می کند. در این حالت نمودار فاز 90 خط است.

تابع انتقال حلقه باز G(s)H(s)=1+sτ را در نظر بگیرید.

اندازه عبارت خواهد بود با :

زاویه فاز عبارت است با :

برای ω<1/τ، اندازه 0 دسی بل و زاویه فاز 0 درجه است.

برای ω> 1/τ، اندازه 20 logot dB و زاویه فاز 900 است.

شکل زیر نمودار Bode مربوطه را نشان می دهد.

شکل 3 ) نمودار بودی متناسب با مثال 3

نمودار اندازه دارای اندازه 0 دسی بل تا ω=1τ راد در ثانیه است. از ω=1τ rad/sec، دارای شیب 20 دسی بل در دسی است. در این حالت نمودار فاز دارای زاویه فاز 0 درجه تا ω=1τ راد بر ثانیه است و از اینجا دارای زاویه فاز 90 است. این نمودار بود را نمودار بود مجانبی می نامند.

نمودار بودی

از آنجایی که نمودارهای اندازه و فاز با خطوط مستقیم نشان داده می شوند، نمودارهای Bode دقیق شبیه نمودارهای Bode مجانبی هستند. تنها تفاوت این است که نمودارهای Exact Bode به جای خطوط مستقیم، منحنی های ساده دارند.

به طور مشابه، می توانید نمودارهای Bode را برای سایر عبارات تابع انتقال حلقه باز که در جدول آورده شده است رسم کنید.

قواعد ساخت نمودار های بودی

این قوانین را در حین ساختن نمودار Bode دنبال کنید.

تابع انتقال حلقه باز را به شکل ثابت زمانی استاندارد نشان دهید.

در معادله بالا s=jω را جایگزین کنید.

فرکانس های گوشه ای را پیدا کنید و آنها را به ترتیب صعودی مرتب کنید.

فرکانس شروع نمودار Bode را یک دهم از حداقل فرکانس گوشه یا 0.1 راد در ثانیه هر کدام که مقدار کوچکتر است در نظر بگیرید و نمودار Bode را تا 10 برابر حداکثر فرکانس گوشه رسم کنید.

نمودارهای اندازه را برای هر جمله رسم کنید و این نمودارها را به درستی ترکیب کنید.

نمودارهای فاز را برای هر جمله ترسیم کنید و این نمودارها را به درستی ترکیب کنید.

نکته – فرکانس گوشه فرکانسی است که در آن تغییری در شیب نمودار بزرگی وجود دارد.

مثال

تابع انتقال حلقه باز یک سیستم کنترل حلقه بسته را در نظر بگیرید

اجازه دهید این تابع انتقال حلقه باز را به فرم ثابت زمانی استاندارد تبدیل کنیم ، خواهیم داشت :

و در فرمی دیگر :

بنابراین، با استفاده از قوانینی که قبلا ذکر شد، می‌توانیم نمودار Bode را در ورق نیمه لگاریتمی رسم کنیم.

تجزیه و تحلیل پایداری با استفاده از نمودارهای Bode

از نمودارهای Bode می توان گفت که آیا سیستم کنترل بر اساس مقادیر این پارامترها پایدار است، پایدار یا ناپایدار است.

• افزایش فرکانس متقاطع و فرکانس متقاطع فاز
• حاشیه سود و حاشیه فاز

فرکانس تقاطع فاز

فرکانسی که در آن نمودار فاز دارای فاز 180- است به عنوان فرکانس متقاطع فاز شناخته می شود. با ωpc نشان داده می شود. واحد فرکانس متقاطع فاز راد بر ثانیه است.

افزایش فرکانس متقاطع

فرکانسی که در آن نمودار بزرگی دارای اندازه صفر دسی بل است به عنوان فرکانس متقاطع افزایشی شناخته می شود. با ωgc نشان داده می شود. واحد افزایش فرکانس متقاطع راد بر ثانیه است.

پایداری سیستم کنترل بر اساس رابطه بین فرکانس متقاطع فاز و فرکانس متقاطع بهره در زیر فهرست شده است.

اگر تلاقی فاز بیش از فرکانس ωpc بیشتر از تلاقی بهره بر فرکانس ωgc باشد، سیستم کنترل پایدار است.

اگر تلاقی فاز بیش از فرکانس ωpc برابر با تلاقی بهره بر فرکانس ωgc باشد، سیستم کنترل تا حدی پایدار است.

اگر تلاقی فاز بیش از فرکانس ωpc کمتر از تلاقی بهره بر فرکانس ωgc باشد، سیستم کنترل ناپایدار است.

مارجین اندازه

مارجین یا حاشیه بهره GM برابر با منفی قدر در دسی بل در فرکانس متقاطع فاز است.

جایی که، Mpc قدر در فرکانس متقاطع فاز است. واحد حاشیه بهره (GM) دسی بل است.

مارجین فاز

فرمول PM حاشیه فاز است

که در آن، φgc زاویه فاز در فرکانس متقاطع بهره است. واحد حاشیه فاز درجه است.

پایداری سیستم کنترل بر اساس رابطه بین حاشیه بهره و حاشیه فاز در زیر فهرست شده است.

اگر هم حاشیه بهره GM و هم حاشیه فاز PM مثبت باشند، سیستم کنترل پایدار است.

اگر هر دو حاشیه بهره GM و حاشیه فاز PM برابر با صفر باشند، سیستم کنترل تا حدی پایدار است.

اگر حاشیه بهره GM و / یا حاشیه فاز PM منفی/منفی باشد، سیستم کنترل ناپایدار است.

نمودار نایکوئیست

نمودارهای Nyquist ادامه نمودارهای قطبی برای یافتن پایداری سیستم های کنترل حلقه بسته با تغییر ω از -∞ تا ∞ هستند. به این معنی که نمودارهای Nyquist برای ترسیم پاسخ فرکانسی کامل تابع انتقال حلقه باز استفاده می شود.

معیار پایداری نایکیست

معیار پایداری نایکیست بر اساس اصل استدلال کار می کند. بیان می‌کند که اگر قطب‌های P وجود داشته باشد و صفرهای Z توسط مسیر بسته صفحه «s» محصور شوند، آن‌گاه صفحه G(s)H(s) مربوطه باید بار مبدا P-Z را احاطه کند. بنابراین، می توانیم تعداد محاصره های N را به صورت زیر بنویسیم:

• اگر مسیر بسته “s” محصور فقط حاوی قطب باشد، آنگاه جهت محاصره در صفحه G(s)H(s) مخالف جهت مسیر بسته محصور در صفحه “s” خواهد بود.

• اگر مسیر بسته صفحه “s” محصور فقط حاوی صفر باشد، جهت محاصره در صفحه G(s)H(s) در همان جهت مسیر بسته محصور در صفحه “s” خواهد بود.

حال اجازه دهید اصل استدلال را با انتخاب آن به عنوان یک مسیر بسته در نیمه سمت راست صفحه ‘s’ اعمال کنیم. این مسیر انتخاب شده، کانتور Nyquist نامیده می شود.

می دانیم که اگر تمام قطب های تابع انتقال حلقه بسته در نیمه سمت چپ صفحه s قرار گیرند، سیستم کنترل حلقه بسته پایدار است. بنابراین، قطب های تابع انتقال حلقه بسته چیزی جز ریشه های معادله مشخصه نیستند. با افزایش ترتیب معادله مشخصه، یافتن ریشه ها دشوار است. بنابراین، اجازه دهید این ریشه های معادله مشخصه را به صورت زیر با هم مرتبط کنیم.

قطب های معادله مشخصه همانند قطب های تابع انتقال حلقه باز است.

صفرهای معادله مشخصه همانند قطب های تابع انتقال حلقه بسته است.

می دانیم که سیستم کنترل حلقه باز در صورتی پایدار است که در نیمه سمت راست صفحه ‘s’ قطب باز وجود نداشته باشد.

ما می دانیم که سیستم کنترل حلقه بسته در صورتی پایدار است که در نیمه سمت راست صفحه ‘s’ قطب بسته وجود نداشته باشد.

معیار پایداری نایکویست بیان می‌کند که تعداد محاصره‌ها در مورد نقطه بحرانی (1+j0) باید برابر با قطب‌های معادله مشخصه باشد که چیزی جز قطب‌های تابع انتقال حلقه باز در نیمه سمت راست صفحه s نیست. تغییر مبدأ به (1+j0) صفحه معادله مشخصه را نشان می دهد.

قوانین ترسیم پلات نایکیست

برای ترسیم نقشه های Nyquist از این قوانین پیروی کنید.

قطب ها و صفرهای تابع انتقال حلقه باز G(s)H(s) را در صفحه s پیدا کنید.

نمودار قطبی را با تغییر ω از صفر تا بی نهایت رسم کنید. اگر قطب یا صفر در s = 0 وجود داشته باشد، ω از 0+ تا بی نهایت برای رسم نمودار قطبی تغییر می کند.

تصویر آینه ای نمودار قطبی بالا را برای مقادیر ω از −∞ تا صفر رسم کنید (0- اگر قطب یا صفر در s=0 وجود داشته باشد).

تعداد نیم دایره های شعاع بی نهایت برابر با تعداد قطب ها یا صفرها در مبدا خواهد بود. شعاع بینهایت نیم دایره از نقطه ای شروع می شود که تصویر آینه ای طرح قطبی به پایان می رسد. و این نیم دایره شعاع نامتناهی در نقطه ای که نمودار قطبی شروع می شود به پایان می رسد.

پس از ترسیم نمودار نایکوئیست، با استفاده از معیار پایداری نایکوئیست می توانیم پایداری سیستم کنترل حلقه بسته را پیدا کنیم. اگر نقطه بحرانی (-1+j0) خارج از محیط قرار گیرد، سیستم کنترل حلقه بسته کاملاً پایدار است.

تجزیه و تحلیل پایداری با استفاده از نمودارهای Nyquist

از نمودارهای Nyquist، می‌توانیم بر اساس مقادیر این پارامترها، پایداری، پایداری حاشیه‌ای یا ناپایدار بودن سیستم کنترل را تشخیص دهیم.

• افزایش فرکانس متقاطع و فرکانس متقاطع فاز
• حاشیه سود و حاشیه فاز

فرکانس تقاطع فاز

فرکانسی که در آن نمودار نایکوئیست محور واقعی منفی را قطع می کند (زاویه فاز 180 است) به عنوان فرکانس متقاطع فاز شناخته می شود. با ωpc نشان داده می شود.

افزایش فرکانس متقاطع

فرکانسی که در آن نمودار نایکوئیست بزرگی یک است، به عنوان فرکانس متقاطع بهره شناخته می شود. با ωgc نشان داده می شود.

پایداری سیستم کنترل بر اساس رابطه بین فرکانس متقاطع فاز و فرکانس متقاطع بهره در زیر فهرست شده است.

اگر تلاقی فاز بیش از فرکانس ωpc بیشتر از تلاقی بهره بر فرکانس ωgc باشد، سیستم کنترل پایدار است.

اگر تلاقی فاز بیش از فرکانس ωpc برابر با تلاقی بهره بر فرکانس ωgc باشد، سیستم کنترل تا حدی پایدار است.

اگر تلاقی فاز بیش از فرکانس ωpc کمتر از متقاطع افزایش فرکانس ωgc باشد، سیستم کنترل ناپایدار است.

حاشیه بهره

حاشیه بهره GM برابر است با مقدار متقابل بزرگی نمودار نایکیست در فرکانس متقاطع فاز:

که در آن، Mpc قدر در مقیاس نرمال در فرکانس متقاطع فاز است.

حاشیه فاز

حاشیه فاز PM برابر است با مجموع 180 و زاویه فاز در فرکانس متقاطع بهره:

جایی که، φgc زاویه فاز در فرکانس متقاطع بهره است.

پایداری سیستم کنترل بر اساس رابطه بین حاشیه بهره و حاشیه فاز در زیر فهرست شده است.

اگر حاشیه بهره GM بیشتر از یک باشد و PM حاشیه فاز مثبت باشد، سیستم کنترل پایدار است.

اگر حاشیه بهره GM برابر با یک و PM حاشیه فاز صفر درجه باشد، سیستم کنترل تا حدی پایدار است.

اگر حاشیه بهره GM کمتر از یک باشد و / یا حاشیه فاز PM منفی باشد، سیستم کنترل ناپایدار است.

منبع : برق تِک

25 سپتامبر 2022