پایداری مفهوم مهمی است. در این فصل، اجازه دهید پایداری سیستم و انواع سیستم های مبتنی بر پایداری را مورد بحث قرار دهیم.

سیستم پایدار چیست؟

به یک سیستم گفته می شود که اگر خروجی آن تحت کنترل باشد، پایدار است. در غیر این صورت گفته می شود که ناپایدار است. یک سیستم پایدار یک خروجی محدود برای یک ورودی محدود تولید می کند.

شکل زیر پاسخ یک سیستم پایدار را نشان می دهد.

شکل 1 ) پاسخ پله برای یک سیستم مرتبه اول که پایداری را به واسطه خروجی محدود نشان می دهد

این پاسخ سیستم کنترل مرتبه اول برای ورودی پله واحد است. این پاسخ دارای مقادیر بین 0 و 1 است. بنابراین، خروجی محدود است. می دانیم که سیگنال گام واحد مقدار یک را برای همه مقادیر مثبت t از جمله صفر دارد. بنابراین، ورودی محدود است. بنابراین، سیستم کنترل مرتبه اول پایدار است زیرا هر دو ورودی و خروجی محدود هستند.

انواع سیستم های مبتنی بر پایداری

می توانیم سیستم ها را بر اساس پایداری به صورت زیر طبقه بندی کنیم.

سیستم کاملاً پایدار

سیستم شرطی پایدار

سیستم تا حدی پایدار

شکل 2 ) نمودار مربوط به سیستم های پایدار ، پایدار حاشیه ای و ناپایدار با فرض ورودی محدود پله

سیستم کاملاً پایدار

اگر سیستم برای تمام محدوده مقادیر اجزای سیستم پایدار باشد، آنگاه به عنوان سیستم کاملاً پایدار شناخته می شود. اگر تمام قطب های تابع انتقال حلقه باز در نیمه چپ صفحه s وجود داشته باشند، سیستم کنترل حلقه باز کاملاً پایدار است. به طور مشابه، اگر تمام قطب های تابع انتقال حلقه بسته در نیمه چپ صفحه ‘s’ وجود داشته باشند، سیستم کنترل حلقه بسته کاملاً پایدار است.

سیستم شرطی پایدار

اگر سیستم برای محدوده معینی از مقادیر اجزای سیستم پایدار باشد، آن را به عنوان سیستم شرطی پایدار شناخته می‌شود.

سیستم با پایداری حاشیه ای

اگر سیستم با تولید سیگنال خروجی با دامنه ثابت و فرکانس ثابت نوسانات برای ورودی محدود پایدار باشد، آن را به عنوان سیستم پایدار حاشیه ای می گویند. اگر هر دو قطب تابع انتقال حلقه باز در محور فرضی وجود داشته باشد، سیستم کنترل حلقه باز تا حدودی پایدار است. به طور مشابه، اگر هر دو قطب تابع انتقال حلقه بسته در محور فرضی وجود داشته باشد، سیستم کنترل حلقه بسته تا حدودی پایدار است.

آنالیز پایداری

در این قسمت، اجازه دهید تجزیه و تحلیل پایداری در حوزه ‘s’ را با استفاده از معیار پایداری RouthHurwitz مورد بحث قرار دهیم. در این معیار، برای یافتن پایداری سیستم های کنترل حلقه بسته، به معادله مشخصه نیاز داریم.

معیار پایداری Routh-Hurwitz

معیار پایداری روث-هورویتز داشتن یک شرط لازم و یک شرط کافی برای پایداری است. اگر هر سیستم کنترلی شرایط لازم را برآورده نکند، می توان گفت که سیستم کنترل ناپایدار است. اما، اگر سیستم کنترل شرایط لازم را برآورده کند، ممکن است پایدار باشد یا نباشد. بنابراین، شرط کافی برای دانستن اینکه آیا سیستم کنترل پایدار است یا نه، مفید است.

شرایط لازم برای پایداری روث-هورویتز

شرط لازم این است که ضرایب چند جمله ای مشخصه مثبت باشد. این بدان معناست که تمام ریشه های معادله مشخصه باید دارای بخش های واقعی منفی باشند.

معادله مشخصه ترتیب ‘n’ را در نظر بگیرید :

توجه داشته باشید که هیچ عبارت از دست رفته ای در معادله مشخصه مرتبه n وجود نداشته باشد. این بدان معنی است که معادله مشخصه مرتبه n نباید دارای ضریب صفر باشد.

شرایط کافی برای پایداری Routh-Hurwitz

شرط کافی این است که تمام عناصر ستون اول آرایه Routh علامت یکسانی داشته باشند. به این معنی که تمام عناصر ستون اول آرایه Routh باید مثبت یا منفی باشند.

روش آرایه Routh

اگر تمام ریشه های معادله مشخصه در نیمه چپ صفحه ‘s’ وجود داشته باشد، سیستم کنترل پایدار است. اگر حداقل یک ریشه از معادله مشخصه در نیمه سمت راست صفحه ‘s’ وجود داشته باشد، سیستم کنترل ناپایدار است. بنابراین، ما باید ریشه های معادله مشخصه را پیدا کنیم تا بدانیم آیا سیستم کنترل پایدار است یا ناپایدار. اما، با افزایش مرتبه، یافتن ریشه های معادله مشخصه دشوار است.

بنابراین، برای غلبه بر این مشکل، روش آرایه Routh را داریم. در این روش نیازی به محاسبه ریشه معادله مشخصه نیست. ابتدا جدول Routh را فرموله کنید و تعداد تغییرات علامت را در ستون اول جدول Routh پیدا کنید. تعداد تغییرات علامت در ستون اول جدول Routh تعداد ریشه های معادله مشخصه را نشان می دهد که در نیمه سمت راست صفحه ‘s’ وجود دارد و سیستم کنترل ناپایدار است.

برای تشکیل جدول Routh این روش را دنبال کنید.

دو ردیف اول آرایه Routh را با ضرایب چند جمله ای مشخصه همانطور که در جدول زیر ذکر شده است پر کنید. با ضریب sn شروع کنید و تا ضریب s0 ادامه دهید.

سطرهای باقی مانده از آرایه Routh را با عناصری که در جدول زیر ذکر شده است پر کنید. این فرآیند را تا زمانی ادامه دهید که اولین عنصر ستونی ردیف s0 به عنوان an باشد. در اینجا an ضریب s0 در چند جمله ای مشخصه است.

نکته – اگر هر یک از عناصر ردیف جدول Routh فاکتور مشترکی داشته باشد، می‌توانید عناصر ردیف را با آن فاکتور تقسیم کنید تا ساده‌سازی آن آسان باشد.

جدول زیر آرایه Routh از چند جمله ای مشخصه مرتبه n را نشان می دهد.

جدول 1 ) مربوط به بررسی پایداری با معیار روث هورویتز

مثال

بیایید پایداری سیستم کنترل را با معادله مشخصه پیدا کنیم،

مرحله 1 – شرایط لازم برای پایداری Routh-Hurwitz را بررسی کنید.

همه ضرایب چند جمله ای مشخصه s4+3s3+3s2+2s+1 مثبت هستند. بنابراین، سیستم کنترل شرایط لازم را برآورده می کند.

مرحله 2 – آرایه Routh را برای چند جمله ای مشخصه تشکیل دهید.

جدول 2

مرحله 3 – شرایط کافی برای پایداری Routh-Hurwitz را بررسی کنید.

تمام عناصر ستون اول آرایه Routh مثبت هستند. هیچ تغییر علامتی در ستون اول آرایه Routh وجود ندارد. بنابراین، سیستم کنترل پایدار است.

موارد خاص آرایه Routh

ممکن است هنگام تشکیل جدول Routh با دو نوع موقعیت مواجه شویم. تکمیل جدول روث از این دو موقعیت دشوار است.

دو مورد خاص عبارتند از –

اولین عنصر هر ردیف از آرایه Routh صفر است.

تمام عناصر هر ردیف از آرایه Routh صفر هستند.

اکنون اجازه دهید در مورد چگونگی غلبه بر مشکل در این دو مورد، یک به یک بحث کنیم.

عنصر اول هر ردیف از آرایه Routh صفر است

اگر هر ردیفی از آرایه Routh فقط حاوی اولین عنصر به عنوان صفر باشد و حداقل یکی از عناصر باقیمانده دارای مقدار غیر صفر باشد، اولین عنصر را با یک عدد صحیح مثبت کوچک، ϵ جایگزین کنید. و سپس روند تکمیل جدول Routh را ادامه دهید. اکنون، تعداد تغییرات علامت را در ستون اول جدول Routh با جایگزین کردن ϵ به سمت صفر بیابید.

مثال

بیایید پایداری سیستم کنترل را با معادله مشخصه پیدا کنیم،

مرحله 1 – شرایط لازم برای پایداری Routh-Hurwitz را بررسی کنید.

همه ضرایب چند جمله ای مشخصه s4+2s3+s2+2s+1 مثبت هستند. بنابراین، سیستم کنترل شرایط لازم را برآورده کرد.

مرحله 2 – آرایه Routh را برای چند جمله ای مشخصه تشکیل دهید.

عناصر ردیف s3 دارای 2 به عنوان عامل مشترک هستند. بنابراین، همه این عناصر بر 2 تقسیم می شوند.

حالت خاص (i) – فقط اولین عنصر ردیف s2 صفر است. بنابراین، آن را با ϵ جایگزین کنید و روند تکمیل جدول Routh را ادامه دهید.

مرحله 3 – شرایط کافی برای پایداری Routh-Hurwitz را بررسی کنید.

از آنجایی که ϵ به سمت صفر میل می کند، جدول Routh به این شکل می شود.

دو تغییر علامت در ستون اول جدول Routh وجود دارد. از این رو، سیستم کنترل ناپایدار است.

در معیار پایداری Routh-Hurwitz، می‌توانیم بدانیم که آیا قطب‌های حلقه بسته در نیمه چپ صفحه «s» هستند یا در نیمه راست صفحه «s» یا روی محور imaginary. بنابراین، ما نمی توانیم ماهیت سیستم کنترل را دریابیم. برای غلبه بر این محدودیت، تکنیکی به نام مکان هندسی ریشه ها وجود دارد. که بعدا در مورد آن صحبت خواهم کرد.

مرجع : برق تِک