ما می توانیم پاسخ سیستم های کنترل را در حوزه زمان و فرکانس تحلیل کنیم. تحلیل پاسخ فرکانسی سیستم های کنترل را در پست های بعدی مورد بحث قرار خواهیم داد. در این پست در مورد تحلیل پاسخ زمانی سیستم های کنترل بحث می کنیم :

پاسخ زمانی چیست؟

اگر خروجی سیستم کنترل برای یک ورودی با توجه به زمان متفاوت باشد، به آن پاسخ زمانی سیستم کنترل می گویند. پاسخ زمانی از دو بخش تشکیل شده است.

پاسخ گذرا

پاسخ حالت ماندگار

پاسخ سیستم کنترل در حوزه زمانی در شکل زیر نشان داده شده است.

شکل 1 ) مایش پاسخ حالت گذرا و ماندگار

در اینجا، هر دو حالت گذرا و پایدار در شکل نشان داده شده است. پاسخ های مربوط به این حالت ها به عنوان پاسخ های حالت گذرا و پایدار شناخته می شوند.

از نظر ریاضی، می توانیم پاسخ زمانی c(t) را به صورت بنویسیم :

جایی که :

ctr(t) پاسخ گذرا است

css(t) پاسخ حالت پایدار است

 پاسخ گذرا

پس از اعمال ورودی به سیستم کنترل، خروجی به زمان معینی نیاز دارد تا به حالت پایدار برسد. بنابراین، خروجی در حالت گذرا خواهد بود تا زمانی که به حالت پایدار برود. بنابراین پاسخ سیستم کنترل در حالت گذرا به عنوان پاسخ گذرا شناخته می شود.

پاسخ گذرا برای مقادیر بزرگ «t» صفر خواهد بود. در حالت ایده آل، این مقدار ‘t’ بی نهایت است و عملاً پنج برابر ثابت زمانی است.

از نظر ریاضی می توانیم آن را به صورت بنویسیم

پاسخ حالت پایدار

بخشی از پاسخ زمانی که حتی پس از اینکه پاسخ گذرا برای مقادیر بزرگ «t» صفر شود، باقی می‌ماند، به عنوان پاسخ حالت پایدار شناخته می‌شود. این بدان معناست که پاسخ گذرا حتی در حالت پایدار صفر خواهد بود.

به عنوان مثال اجازه دهید شرایط گذرا و پایدار پاسخ زمانی سیستم کنترل را پیدا کنیم

در اینجا، جمله دوم 5e−t صفر خواهد بود زیرا t نشان دهنده بی نهایت است. بنابراین، این اصطلاح گذرا است. و جمله اول 10 حتی با نزدیک شدن t به بی نهایت باقی می ماند. بنابراین، این اصطلاح حالت پایدار است.

 سیگنال های تست استاندارد

سیگنال های تست استاندارد عبارتند از: ضربه، پله، رمپ و سهمی. این سیگنال ها برای اطلاع از عملکرد سیستم های کنترل با استفاده از پاسخ زمانی خروجی استفاده می شوند.

سیگنال واحد ضربه

یک سیگنال واحد تکانه، δ(t) به صورت تعریف می شود

شکل زیر سیگنال واحد تکانه را نشان می دهد.

شکل 2 ) نمایش تابع ضربه

بنابراین، سیگنال واحد ضربه ای که فقط در “t” وجود دارد برابر با صفر است. مساحت این سیگنال در بازه زمانی کوچک در اطراف ‘t’ برابر با صفر است. مقدار سیگنال واحد تکانه برای تمام مقادیر دیگر «t» صفر است.

سیگنال پله واحد

یک سیگنال مرحله واحد، u(t) به صورت تعریف می شود

شکل زیر سیگنال مرحله واحد را نشان می دهد.

شکل 3 ) نمایش تابع پله واحد

بنابراین، سیگنال مرحله واحد برای تمام مقادیر مثبت “t” از جمله صفر وجود دارد. و مقدار آن در این بازه یک است. مقدار سیگنال مرحله واحد برای تمام مقادیر منفی “t” صفر است.

سیگنال رمپ واحد

یک سیگنال رمپ واحد، r(t) به صورت تعریف شده است

شکل زیر سیگنال رمپ واحد را نشان می دهد.

شکل 4 ) نمایش تابع شیب واحد

در این بخش مشخصات حوزه زمانی سیستم مرتبه دوم را مورد بحث قرار می دهیم. پاسخ پله ای سیستم مرتبه دوم برای مورد کم میرایی در شکل زیر نشان داده شده است.

شکل 5 ) مشخصه های پاسخ زمانی به ازای پاسخ پله برای سیستم مرتبه دوم

تمام مشخصات دامنه زمانی در این شکل نشان داده شده است. پاسخ تا زمان نشست به عنوان پاسخ گذرا و پاسخ پس از زمان نشست به عنوان پاسخ حالت پایدار شناخته می شود.

زمان تاخیر

زمان لازم برای رسیدن پاسخ به نصف مقدار نهایی خود از لحظه صفر است. که با td نشان داده شده است.

پاسخ پله  سیستم مرتبه دوم را برای t ≥ 0 در نظر بگیرید، زمانی که «δ» بین صفر و یک قرار دارد.

مقدار نهایی پاسخ گام یک است.

بنابراین در t=td مقدار پاسخ گام 0.5 خواهد بود. این مقادیر را در معادله بالا جایگزین کنید. در نتیجه خواهیم داشت :

زمان رسیدن یا رایز تایم یا برخاستن

زمان لازم برای افزایش پاسخ از 0% به 100% مقدار نهایی آن است. این برای سیستم های کم میرایی قابل استفاده است. برای سیستم های بیش از حد میرایی، مدت زمان را از 10% تا 90% مقدار نهایی در نظر بگیرید. زمان افزایش با tr نشان داده می شود.

در t = t1 = 0، c(t) = 0.

می دانیم که مقدار نهایی پاسخ گام یک است.

بنابراین، در t=t2، مقدار پاسخ گام یک است. این مقادیر را در معادله جایگزین کنید. خواهیم داشت :

از معادله بالا می توان نتیجه گرفت که زمان افزایش tr و فرکانس میرایی ωd با یکدیگر نسبت معکوس دارند.

پیک تایم یا زمان قله

زمان مورد نیاز برای رسیدن پاسخ به مقدار اوج برای اولین بار است. با tp نشان داده می شود. در t=tp، اولین مشتق پاسخ صفر است.

می دانیم که پاسخ گامی سیستم مرتبه دوم برای کیس کم میرا شده است این مقدار را می توان با مشتق گیری زمانی و در نظر گیری اکسترمم نسبی بدست آورد که برای آن خواهیم داشت :

از معادله بالا می توان نتیجه گرفت که زمان پیک tp و فرکانس میرایی ωd با یکدیگر نسبت معکوس دارند.

مقدار بالازدگی یا اورشوت

پیک اورشوت Mp به عنوان انحراف پاسخ در زمان اوج از مقدار نهایی پاسخ تعریف می شود. به آن ماکزیمم بیش از حد نیز می گویند.

از نظر ریاضی این اتفاق در زمان پیک تایم روی می دهد که با جایگذاری های لازم خواهیم داشت :

از معادله بالا، می‌توان نتیجه گرفت که اگر نسبت میرایی δ افزایش یابد، درصد بیش از حد پیک %Mp کاهش می‌یابد.

زمان نشست

زمان مورد نیاز برای رسیدن پاسخ به حالت پایدار و ماندن در محدوده های تحمل مشخص شده حول مقدار نهایی است. به طور کلی، نوارهای تحمل 2٪ و 5٪ است. زمان ته نشینی با ts نشان داده می شود.

زمان ته نشینی برای نوار تحمل 5 درصد است

که، τ ثابت زمانی است و برابر با حاصلضرب دلتا در فرکانس زاویه ای است.

هر دو زمان ته نشینی ts و ثابت زمانی τ با نسبت میرایی δ نسبت معکوس دارند.

هر دو زمان ته نشینی ts و ثابت زمانی τ مستقل از بهره سیستم هستند. این بدان معناست که حتی بهره سیستم تغییر می کند، زمان تسلیح ts و ثابت زمانی τ هرگز تغییر نخواهند کرد.

در نهایت بایستی در نظر داشت که این محاسبات صرفا برای سیستم های مرتبه دوم صادق است و در سیستم مرتبه بالاتر و یا مدل های غیرخطی نیاز به بررسی نموداری دارند.

منبع : برق تِک