در نمودار مکان هندسی ریشه ها می توان مسیر قطب های حلقه بسته را مشاهده کرد. از این رو می توانیم ماهیت سیستم کنترل را شناسایی کنیم. در این تکنیک از یک تابع انتقال حلقه باز برای اطلاع از پایداری سیستم کنترل حلقه بسته استفاده می کنیم.

مبانی Root Locus

مکان هندسی ریشه ها ، جایگاه ریشه های معادله مشخصه با تغییر K یا همان بهره سیستم از صفر تا بی نهایت است.

می دانیم که معادله مشخصه سیستم کنترل حلقه بسته عبارت است از :

ما می توانیم G(s)H(s) را به صورت زیر نمایش دهیم :

جایی که،

K نشان دهنده ضریب ضرب است

N(s) بیانگر عبارت عددی است که دارای چندجمله ای مرتبه n (فاکتور شده) از s است.

D(s) عبارت مخرجی را نشان می‌دهد که دارای چند جمله‌ای مرتبه m از s است.

مقدار G(s)H(s) را در معادله مشخصه جایگزین کنید. در نتیجه داریم :

حال چنانچه 1-K=0 باشد :

اگر K=0، در نتیجه  D(s)=0.

به این معنی که وقتی K صفر باشد، قطب های حلقه بسته برابر با قطب های حلقه باز هستند.

مورد 2-K = ∞

در این حالت معادله مشخصه بالا را دوباره بنویسید :

با جایگزینی ، K=∞ در معادله بالا داریم :

اگر K=∞، N(s)=0. به این معنی که وقتی K بی نهایت باشد، قطب های حلقه بسته برابر با صفرهای حلقه باز هستند.

از دو مورد بالا، می‌توان نتیجه گرفت که شاخه‌های منبع ریشه از قطب‌های حلقه باز شروع شده و به صفرهای حلقه باز ختم می‌شوند.

شرایط زاویه و شرایط اندازه

نقاط روی شاخه های مکان هندسی شرایط زاویه را برآورده می کنند. بنابراین، از شرط زاویه برای دانستن اینکه آیا نقطه در شاخه ریشه مکان هندسی وجود دارد یا خیر استفاده می شود. ما می توانیم مقدار K را برای نقاط روی شاخه های منبع ریشه با استفاده از شرط اندازه پیدا کنیم. بنابراین، می‌توانیم از شرط بزرگی برای نقاط استفاده کنیم و این شرایط زاویه را برآورده می‌کند.

معادله مشخصه سیستم کنترل حلقه بسته عبارت است از :

زاویه فاز G(s)H(s) عبارت است از :

شرط زاویه نقطه ای است که در آن زاویه تابع انتقال حلقه باز مضرب فرد 180 باشد.

اندازه G(s)H(s) برابر است با :

شرط بزرگی این است که نقطه ای (که شرط زاویه را برآورده می کند) که در آن اندازه تابع انتقال حلقه باز یک باشد.

ساخت مکان هندسی ریشه ها

مکان هندسی ریشه ها یک نمایش گرافیکی در دامنه s است و نسبت به محور حقیقی متقارن است. زیرا قطب های حلقه باز و صفرها در دامنه s وجود دارند که مقادیر آنها به صورت حقیقی یا به صورت جفت مزدوج imaginary است. در این بخش در مورد چگونگی ساخت (رسم) مکان هندسی ریشه ها بحث میشود.

قوانین ساخت مکان هندسی ریشه ها

این قوانین را برای ساختن مکان هندسی ریشه ها دنبال کنید.

قانون 1 – قطب ها و صفرهای حلقه باز را در صفحه s پیدا کنید.

قانون 2 – تعداد شاخه های منبع ریشه را پیدا کنید.

می دانیم که شاخه های منبع ریشه از قطب های حلقه باز شروع می شوند و به صفرهای حلقه باز ختم می شوند. بنابراین، تعداد شاخه‌های منبع ریشه N برابر است با تعداد قطب‌های حلقه باز محدود P یا تعداد صفرهای حلقه باز محدود Z که هر کدام بیشتر باشد.

از نظر ریاضی، می‌توانیم تعداد شاخه‌های منبع ریشه را N را به صورت زیر بنویسیم :

قانون 3 – شاخه های منبع اصلی ریشه محور حقیقی را شناسایی و رسم کنید.

اگر زاویه تابع انتقال حلقه باز در یک نقطه مضرب فرد 180 باشد، آن نقطه روی مکان ریشه است. اگر تعداد فرد قطب های حلقه باز و صفرها در سمت چپ یک نقطه در محور حقیقی وجود داشته باشد، آن نقطه در شاخه منبع ریشه است. بنابراین، شاخه نقاطی که این شرط را برآورده می کند، محور حقیقی شاخه ریشه است.

قانون 4 – مرکز و زاویه مجانب را پیدا کنید.

اگر P=Z، آنگاه همه شاخه‌های منبع ریشه از قطب‌های حلقه باز محدود شروع می‌شوند و به صفرهای حلقه باز محدود ختم می‌شوند.

اگر P>Z، تعداد Z شاخه های منبع ریشه از قطب های حلقه باز محدود شروع می شود و به صفرهای حلقه باز محدود ختم می شود و تعداد P-Z شاخه های منبع ریشه از قطب های حلقه باز محدود شروع می شود و به صفرهای حلقه باز بی نهایت ختم می شود.

اگر P<Z، تعداد P شاخه های منبع ریشه از قطب های حلقه باز محدود شروع می شوند و به صفرهای حلقه باز محدود ختم می شوند و تعداد Z-P شاخه های منبع ریشه از قطب های حلقه باز بی نهایت شروع می شوند و به صفرهای حلقه باز محدود ختم می شوند.

بنابراین، برخی از شاخه های منبع ریشه به بی نهایت نزدیک می شوند، زمانی که P≠Z. مجانب جهت این شاخه های منبع ریشه را می دهد. نقطه تقاطع مجانب بر روی محور حقیقی به عنوان مرکز شناخته می شود.

با استفاده از این فرمول می توانیم مرکز α را محاسبه کنیم

فرمول زاویه مجانب θ عبارت است با :

 

که در آن :

قانون 5 – نقاط تقاطع شاخه های ریشه را با یک محور فرضی پیدا کنید.

با استفاده از روش آرایه Routh و حالت خاص که در ابتدای پست اشاره شد، می‌توانیم نقطه‌ای را که شاخه منبع ریشه محور فرضی را قطع می‌کند و مقدار K را در آن نقطه محاسبه کنیم.

اگر همه عناصر هر ردیف از آرایه Routh صفر باشند، شاخه منبع ریشه محور فرضی را قطع می کند و بالعکس.

ردیف را به گونه ای مشخص کنید که اگر عنصر اول را صفر کنیم، عناصر کل ردیف صفر شوند. مقدار K را برای این ترکیب پیدا کنید.

این مقدار K را در معادله کمکی جایگزین کنید. نقطه تقاطع شاخه ریشه را با یک محور فرضی دریافت خواهید کرد.

قانون 6 – نقاط جدایی و شکست را پیدا کنید.

اگر یک شاخه منبع ریشه محور واقعی بین دو قطب حلقه باز وجود داشته باشد، آنگاه یک نقطه گسست در بین این دو قطب حلقه باز وجود خواهد داشت.

اگر یک شاخه منبع ریشه محور واقعی بین دو صفر حلقه باز وجود داشته باشد، آنگاه یک نقطه شکست در بین این دو صفر حلقه باز وجود خواهد داشت.

نکته – نقاط انفصال و شکست فقط در شاخه های منبع اصلی ریشه محور واقعی وجود دارد.

این مراحل را دنبال کنید تا نقاط  شکست را پیدا کنید.

K را برحسب s از معادله مشخصه 1+G(s)H(s)=0 بنویسید.

K را نسبت به s متمایز کرده و آن را برابر با صفر کنید. این مقادیر s را در معادله بالا جایگزین کنید.

مقادیر s که مقدار K برای آنها مثبت است نقاط شکست هستند.

قانون 7 – زاویه خروج و زاویه ورود را پیدا کنید.

زاویه خروج و زاویه رسیدن را می توان به ترتیب در قطب های حلقه باز مزدوج مختلط و صفرهای حلقه باز مزدوج مختلط محاسبه کرد.

فرمول زاویه خروج ϕd عبارت است از :

فرمول زاویه رسیدن ϕa عبارت است از :

که در آن :

مثال

اجازه دهید اکنون مکان ریشه سیستم کنترل دارای تابع انتقال حلقه باز را ترسیم کنیم.

مرحله 1 – تابع انتقال حلقه باز داده شده دارای سه قطب در s=0، s=−1 و s=−5 است. هیچ صفری نداره بنابراین تعداد شاخه های منبع ریشه برابر با تعداد قطب های تابع انتقال حلقه باز است.

شکل 1 ) نمودار مکان هندسی ریشه ها – نمایش شاخه ها بر روی محور حقیقی

سه قطب واقع شده در شکل بالا نشان داده شده است. پاره خط بین s=−1 و s=0 یک شاخه از مکان ریشه در محور واقعی است. و شاخه دیگر منبع ریشه روی محور واقعی پاره خط در سمت چپ s=−5 است.

مرحله 2 – با استفاده از فرمول داده شده مقادیر مرکز و زاویه مجانب را بدست می آوریم.

Centroid α=-2

زاویه مجانب 60، 180 و 300 = θ است.

مرکز و سه مجانب در شکل زیر نشان داده شده است.

شکل 2 ) نمودار مکان هندسی ریشه ها – نمایش مجانب ها بر روی مکان هندسی

مرحله 3 – از آنجایی که دو مجانب دارای زوایای 600 و 3000 هستند، دو شاخه منبع ریشه محور فرضی را قطع می کنند. با استفاده از روش آرایه Routh و مورد خاص (ii)، شاخه های منبع ریشه محور فرضی را در رادیکال j5- و -j5  قطع می کنند.

یک نقطه گسست در شاخه منبع ریشه محور واقعی بین قطب های s=-1 و s=0 وجود خواهد داشت. با پیروی از روش داده شده برای محاسبه نقطه گسست، آن را به صورت s=-0.473 دریافت می کنیم.

نمودار مکان ریشه برای سیستم کنترل داده شده در شکل زیر نشان داده شده است.

شکل 3 ) نمودار مکان هندسی ریشه ها – نمایش شاخه های فرعی

به این ترتیب می توانید نمودار جایگاه ریشه هر سیستم کنترلی را ترسیم کنید و حرکت قطب های تابع انتقال حلقه بسته را مشاهده کنید.

از نمودارهای منبع ریشه، می توانیم محدوده مقادیر K را برای انواع مختلف میرایی بدانیم.

اثرات افزودن قطب های حلقه باز و صفر بر روی جایگاه ریشه

مکان ریشه را می توان با اضافه کردن قطب های حلقه باز و صفرهای حلقه باز در صفحه ‘s’ جابه جا کرد.

اگر یک قطب را در تابع انتقال حلقه باز قرار دهیم، برخی از شاخه های منبع ریشه به سمت نیمه سمت راست صفحه ‘s’ حرکت خواهند کرد. به همین دلیل، نسبت میرایی δ کاهش می یابد. که به این معنی است که فرکانس میرایی ωd افزایش می‌یابد و مشخصات حوزه زمانی مانند زمان تاخیر td، زمان افزایش tr و زمان پیک tp کاهش می‌یابد. اما، بر ثبات سیستم تأثیر می گذارد.

اگر در تابع انتقال حلقه باز یک صفر وارد کنیم، آنگاه برخی از شاخه های منبع ریشه به سمت نیمه چپ صفحه ‘s’ حرکت خواهند کرد. بنابراین، ثبات سیستم کنترل را افزایش می دهد. در این حالت نسبت میرایی δ افزایش می یابد. که به این معنی است که فرکانس میرایی ωd کاهش می یابد و مشخصات حوزه زمانی مانند زمان تاخیر td، زمان افزایش tr و زمان پیک tp افزایش می یابد.

بنابراین، بر اساس نیاز، می‌توانیم قطب‌ها یا صفرهای حلقه باز را به تابع انتقال اضافه کنیم.

منبع : برق تِک

22 سپتامبر 2022