فضای حالت در واقع بیانگر چگونگی برهم کنش متغیرهای حالت یک سیستم نسبت به هم در طول زمان م باشد. به طور متداول این زمان از t0=0 شروع شده می تواند تا هر زمانی ادامه داشته باشد. به طور قطع می توان گفت در مدل فضای حالت سیستم تمامی نکات یک سیستم قابل استخراج است.

این مدل ها به صورت اولیه غیرخطی (nonlinear) می باشند چرا که تمامی سیستم های عملی که در واقعیت با آنها مواجه هستیم دارای ذات غیرخطی می باشند. این سیستم ها شامل سیستم های الکتریکی نظیر سیستم های قدرت (همچون پایدارسازها) ، انواع مدارات و نوسان سازها ، سیستم های مکانیکی نظیر انواع ربات ها ، شیرهای پنوماتیکی  ، میز سه درجه آزادی و علی الخصوص سیستم های الکترومکانیکی یا مکاترونیکی نظیر پهبادها می باشد. همانطور که بیان شد تمامی این سیستم ها دارای فضای حالت اولیه با ماهیت غیرخطی می باشند.

در کنار این ویژگی ، ویژگی نوع تغییر مدل در قالب زمان نیز مطرح می باشد. وجود پارامتر یا پارامترهایی در مدل فضای حالت که در طول زمان دچار تغییر می شوند می تواند مدل را از حالت ثابت در زمان (Time invariant) به حالت تغییرپذیر با زمان (Time variant) تبدیل کند. اگرچه این ویژگی در همه سیستم ها مشاهده نمی شود اما باز هم می توان در مدل های بلندمدت کار سیستم ها این ویژگی را به لحاظ تغییرات ویژگی های سیستم مثلا با استهالاک سازه های سیستم در آنها گنجاند . در کنار این پیش بینی می توان برخی ویژگی ها همچون مقاومت های تغییرپذیر با زمان را در زمره سیستم های متغیر با زمان در نظر گرفت.

متغیر حالت چیست ؟

متغیر حالت یکی از مجموعه متغیرهایی است که برای توصیف “وضعیت” ریاضی یک سیستم دینامیکی استفاده می شود. به طور شهودی، وضعیت یک سیستم به اندازه کافی در مورد سیستم توصیف می کند تا رفتار آینده آن را در غیاب هیچ نیروی خارجی مؤثر بر سیستم تعیین کند. مدل هایی که از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول جفت شده تشکیل شده اند به شکل متغیر حالت هستند.

 با این تعریف متغیر حالت به متغیری گفته می شود که تغییرات داشته باشد، تغییر در ساده ترین شکل می تواند به صورت یک مشتق مرتبه اول بیان شود . به عنوان مثال می توان یک سلف یا خازن تغییرناپذیر با زمان را در نظر گرفت. معادله  را در نظر بگیرید. در اینجا ما متغیر حالت را مشاهده می کنیم . چرا که متغیری توسط مشتق (به مفهوم تغییرات) متغیری دیگر تعریف شده است.

اما در سیستم های واقعی به این سادگی نخواهد بود . در سیستم های واقعی ما با مجموعه ای از متغیرهای حالت روبرو هستیم. این مجموعه به طور قطع دارای روابطی با یکدیگر می باشند که توسط معادلات دیفرانسیل بیان می شوند. معادلات دیفرانسیل می توانند از نوع مرتبه اول باشند که در این صورت بیان متغیرهای حالت ساده تر خواهد بود و به ازای هر معادله دیفرانسیل مرتبه اول ، یک متغیر و بالتبع یک معادله حالت خواهیم داشت. اما معادلات دیفرانسیل مورد نظر می توانند از مراتب بالاتر نیز باشند.

به عنوان مثال معادله دیفرانسیل یک مدار RLC ، مرتبه دوم می باشد. بنابراین دارای دو متغیر حالت می باشد. این سیستم به لحاظ فیزیکی نیز دو متغیر حالت را نشان می دهد که جریان سلف و ولتاژ خازن می باشند.

سیستم های مکانیکی نظیر ربات ها نیز دارای متغیرهای حالت می باشند ، همانطور که می دانیم معادلات دینامیکی این سیستم ها توسط معادلات اویلر و در قالب D&O بیان می شوند. به طور کل (به غیر از مفاصل کروی) به ازای هر مفصل 2 متغیر حالت در ربات خواهیم داشت و به این شکل در یک ربات با سه درجه آزادی ، 6 متغیر حالت خواهیم داشت که در هر مفصل متغیر حالت موقعیت و متغیر حالت سرعت را داریم.

سیستم های الکترومکانیکی نظیر پهبادها  نیز به این شکل می باشد ، در یک نگاه کلی این سیستم ها در یکی از ساده ترین حالت ها کوادکوپتر می باشد ، این سیستم دارای یک متغیر حالت مشخص به عنوان ارتفاع از سطح زمین می باشد. به جز این معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم برای هر کدام از 4 ملخ سیستم نشان دهنده 2 متغیر حالت برای هر یک می باشد

فضای حالت چیست ؟

پس از تعریف متغیر حالت می توانیم در مورد فضای حالت صحبت کنیم. این فضا مجموعه متغیرهای حالت یک سیستم را بیان خواهد کرد به شکل مقابل  . در اینجا X بردار فضای حالت است که شامل تمامی متغیرهای حالت می باشد. در این سیستم متغیرهای حالت سیستم برحسب رفتار سایر متغیرها و اثر آن ها بر روی متغیر حالت مورد نظر تعریف می شوند.

این رابطه در فرم غیرخطی و تغییرپذیر با زمان (کلی ترین حالت ممکن) به صورت  بیان می شود.

تحلیل فضای حالت

تحلیل فضای حالت به منظور بررسی رفتار آینده سیستم ها مطرح می شود. به این معنی که با دانستن کلیه متغیرهای حالت سیستم بتوانیم رفتار سیستم را در زمان های آینده پیش بینی کنیم. در حالت کلی پیش بینی این رفتار بدون وجود هر گونه نیروی  خارجی و یا اصطلاحا (open loop) بررسی می شود. در کنار این در سیستم های مورد اشاره همواره سیگنال های خارجی نظیر انواع اغتشاشات و نویزها نیز اعمال می شوند که در تحلیل فضای حالت این نیروها نیز صفر در نظر گرفته می شوند.

خطی سازی معادلات فضای حالت

یکی از مقدماتی ترین روش ها در تحلیل فضای حالت ، خطی سازی مدل دینامیکی سیستم می باشد. هر سیستم دینامیکی دارای یک نقطه کار می باشد که به تعبیری مقادیر حالت ماندگار سیستم می باشند. در اغلب سیستم ها مبدا یک نقطه کار متداول است حال آنکه در سیستم های ذاتا نوسانی همچون نوسان سازها این نقطه کار می تواند چیز دیگری باشد. این را گقتیم تا بگوییم که خطی سازی سیستم حول نقطه کار انجام می شود. در خطی سازی مفهوم ژاکوبین بیان می شود که بیان مشتق بر روی ماتریس می باشد. با استفاده از ژاکوبین بر روی معادلات حالت (که غیرخطی می باشند) می توان مدل خطی سازی شده از سیستم را بدست آورد.

تحلیل های مختلفی بر روی مدل خطی سازی شده قابل انجام است که انواع آن ها در پست های قبلی بررسی شده اند. مهم ترین ویژگی قابل استخراج از معادلات حالت خطی سازی شده مقادیر ویژه می باشد که ساده ترین در بدست آوردن نیز می باشد. مقادیر ویژه دارای تعریف خود در ماتریس می باشند. ماتریسی که از ژاکوبین معادلات حالت بدست آمده در اغلب موارد (استثنائاتی همچون معادلات برخی ربات ها وجود دارند) یک ماتریس مربعی می باشد. این ماتریس به صورت ماتریس فضای حالت یا A تعریف می شود با این تعریف به منظور بدست آوردن مقادیر ویژه عملیات  انجام می شود که در آن I ماتریس همانی و  بردار مقادیر ویژه می باشد.

آنچه در اغلب تحلیل های فضای حالت مورد نظر است و در واقع هدف اصلی تحلیل می باشد، پایداری سیستم می باشد. مقادیر ویژه می تواند اولین گام و مهمترین آنها در تحلیل پایداری یک سیستم باشد. پایداری به معنی میل نمودن تمام متغیرهای حالت سیستم به مقادیر کار مورد نظر در یک زمان معین می باشد. البته مفاهیم و انواع مختلف پایداری را می توانیم برای سیستم ها تعریف کنیم ، اما در کل آنچه بیان شد یک مصداق کلی از مفهوم پایداری است.

ناپایداری در مقابل مفهوم پایداری قرار دارد و در آن یک یا چند متغیر حالت به سمت بی نهایت می روند ، این بی نهایت یک مفهوم از بزرگ تر شدن اندازه متغیر حالت در گذر زمان است.

در تحلیل پایداری به کمک بردار مقادیر ویژه می توان از همین مفهوم استفاده کرد. وجود مقادیر ویژه مثبت در بردار مقادیر ویژه بدست آمده نشانگر ناپایداری سیستم می باشد. در کنترل مدرن بیان می شود که به ازای هر متغیر حالت سیستم ، یک مقدار ویژه با آن متناظر است . بنابراین وجود مقادیر مثبت نشان دهنده بزرگ شدن اندازه متغیر حالت مربوطه است و این یعنی ناپایداری !

سایر تحلیل های فضای حالت

در سایر روش های تحلیل فضای حالت ابزار کنترلی سیستم در نظر گرفته می شود ، در اغلب سیستم ها ماهیت کنترل سیستم مطرح می باشد به این معنی که یک نیروی خارجی (به عنوان نیروی کنترلی) در سیستم می باشد که می تواند متغیر در زمان باشد و در رسیدن سیستم به پایداری و یا کنترل آن حول نقاط مشخص (مفهوم هدایت سیستم) به کار آیند. از انواع این روش ها می توان به تحلیل مکان هندسی ، تحلیل بودی ، تحلیل نایکوئیست اشاره کرد.

تحلیل فضای حالت سیستم های غیرخطی

چیزی که به طور قطع مشخص است ، عدم پوشش تمامی جوانب یک سیستم مفروض در مدل خطی سازی شده آن می باشد. یعنی یک سیستم خطی سازی شده نمی تواند تمامی رفتار آینده سیستم را به درستی نمایش دهد و این مدل نهایتا می تواند رفتار سیستم در اطراف نقطه کار خطی سازی شده را آن هم در شعاع تغییرات کوچک نسبت به این نقطه مورد بررسی قرار دهد و جالب آنکه همین بررسی نیز دقیق نخواهد بود. بنابراین اساسی ترین تحلیل هنگامی خواهد بود که تمامی رفتار سیستم را پوشش دهد.

این هدف تنها در تحلیل فضای حالت سیستم غیرخطی امکان پذیر می باشد. از طرفی دیگر ابزار قابل دسترس در تحلیل فضای حالت سیستم غیرخطی محدود می باشد . یکی از مهمترین ویژگی های سیستم های خطی سازی شده ، مقادیر ویژه بود که به خوبی پایداری و ناپایداری را به ما نشان می دهد. اما در سیستم های غیرخطی ، نمی توان مقدار ویژه را تعریف کرد. در این سیستم ها تنها می توان مفهوم تابع لیاپانوف را به کار گرفت.

تابع لیاپانوف می تواند هر تابع مثبت معین تعریف شده بر اساس متغیر های حالت سیستم باشد که به طور معمول مجموع مربعات متغیرهای حالت می باشد. مشتق گیری از تابع لیاپانوف و سپس قرار دادن متناظر هر کدام از مشتقات متغیرهای حالت در این تابع ، عبارتی را به ما خواهد داد که منفی معین بودن آن نشانگر پایداری سیستم می باشد.

بنابه آنچه در سیستم های خطی گفته شد اغلب سیستم های غیرخطی در ذات خود ناپایدار می باشند و به منظور پایدارسازی این سیستم ها نیاز است که از نیروی کنترلی استفاده کرد.

تجزیه و تحلیل فضای حالت سیستم کنترل در متلب

نرم افزار متلب یکی از موثرترین ابزار در تحلیل ریاضی سیستم های کنترلی می باشد. نرم افزار متلب دارای توابع پیش ساخته ای است که می توانند عملیات بیان شده در مطالب قبلی را به راحتی انجام داده و یک تحلیل مناسب از روند کار سیستم ها را تشریح کنند.

دستور eig در متلب نمونه این ابزار می باشد. با استفاده از این دستور می توان مقادیر ویژه سیستم را بدست آورد که از ابزار تحلیل فضای حالت در سیستم های خطی می باشد. این دستور در پنجره command متلب به صورت e = eig(A) وارد می شود.

سایر ابزاری که در نرم افزار متلب برای تحلیل سیستم می تواند به کار گرفته شود شامل مکان هندسی ریشه ها ، نایکوئیست ، بودی و غیره می باشند. در شکل زیر تحلیل فضای حالت یک سیستم MIMO توسط ابزار نایکوئیست در فضای متلب انجام شده است.

تحلیل فضای حالت توسط ابزار نایکوئیست متلب برای سیستم 2 ورودی 2 خروجی

در بررسی سیستم های غیرخطی در متلب به نظر نگارنده یکی از روش های مفید می تواند سیمولینک مدل در متلب باشد. در شبیه سازی رفتار سیستم می تواند به طور کل پایداری یا ناپایداری سیستم را از بررسی زمانی کار مشاهده کرد اما آنچه عیب اساسی این روش است عدم امکان اثبات پایداری می باشد و تنها می توان نمای سیستم را در آن مشاهده کرد.

در پست های قبلی روش های شبیه سازی سیستم های غیرخطی در نرم افزار متلب مورد بررسی قرار گرفته اند.

منبع : برق تِک